Lineares Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssysteme, kurz LGS, sind ein zentrales Thema in der Kurvenanpassung und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der oberstufen Mathematik. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Parametern, die gemeinsam gelöst werden.

Das LGS erlaubt es uns eine Funktion zu rekonstruieren, aus Punkten. Wir brauchen dafür \(n+1\) Punkte, wenn \(n\) die höhste Potenz in der gesuchten Funktion ist.

LGS-Lösungen

Eine Lösung

Eine Lösung ist vorhanden, wenn das LGS in die folgende Form umgeformt werden kann:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & x_{2} \\ 0 & 0 & 1 & x_{3} \end{pmatrix} \]

Keine Lösung

Keine Lösung ist vorhanden, wenn das LGS in die folgende Form umgeformt werden kann:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & x_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Unendliche Lösungen

Unendlich viele Lösungen sind vorhanden, wenn das LGS in die folgende Form umgeformt werden kann:

\[ \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & x_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Beispiel

Angenommen, wir wollen eine quadratische Funktion der Form \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) finden, die durch drei gegebene Punkte verläuft. Jeder Punkt liefert euch eine Gleichung, da er die Funktion erfüllen muss.

Die Punkte sind:

• \(P(1|4)\)

• \(Q(2|9)\)

• \(R(3|18)\)

Daraus ergibt sich das LGS:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2^{2} & 2 & 1 & 9\\ 3^{2} & 3 & 1 & 18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 9 \\ 9 & 3 & 1 & 18 \end{pmatrix} \]

Dieses LGS können wir mit dem Gaußalgorithmus lösen.