Wie integriere ich?

Nicht begrenzte Form

Zum nicht begrenzten integrieren muss die Potenz (\(n\)) jedes \(x\)’s um 1 gesteigert werden (\(n+1\)) und sie mit eins durch die neue Potenz (\(\frac{1}{n+1}\)) multipliziert werden. Letztlich muss die Konstante c addiert werden.

Als ein Beispiel kann die folgenden Funktion betrachtet werden.

\[ \begin{gathered} f(x)=x^{2}+x+6 \\ \int f(x)dx = \frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+6x+c \\ \end{gathered} \]

Eine andere Schreibweise ist es auch den Funktionsbuchstaben groß-zuschreiben um zu Zeigen, dass es sich um die Stammfunktion handelt.

\[ F(x)=\int f(x)dx \]

Begrenzte Form

Zum begrenzten integrieren werden zwei Werte gegeben. Diese werden im folgendem a und b genannt. Wir werden die im folgendem gezeigte Funktion von a bis b integrieren.

\[ \begin{gathered} f(x)=x^{2}+x+6 \\ \int_{a}^{b} f(x)\, dx \end{gathered} \]

Dieses Integrale kann auch als definiert werden als

\[ F(b)-F(a) \]

Wenn wir die gegebene Funktion integrieren und einsetzten ergibt sich:

\[ \left( \frac{1}{3}b^{3}+\frac{1}{2}b^{2}+6b+c \right) - \left( \frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{2}b^{2}+6a+c\right) \]