Stammfunktionen bilden

Eine Stammfunktion ist eine Funktion (\(F(x)\)), deren Ableitung die Änderung der Funktion \(f(x)\) ergibt. Das heißt:

\[ F'(x) = f(x) \]

Stammfunktionen sind das Gegenstück zum Ableiten und spielen eine zentrale Rolle in der Integralrechnung.

Grundregeln zum Bilden von Stammfunktionen

1. Potenzregel

Für die Funktion \(f(x) = x^n\) (mit \(n \neq -1\)) gilt:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Beispiel:

\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \]

2. Faktorregel

Alle konstanten Faktoren (hier \(k\)) bleiben beim Integrieren unverändert:

\[ \int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx \]

Beispiel:

\[ \int 5x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C \]

3. Summenregel

Die Stammfunktion einer Summe ist die Summe der Stammfunktionen:

\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]

Beispiel:

\[ \int (x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C \]

Wichtige Stammfunktionen