Geraden

Ein Gerade durchdringt den Raum auf einer unbegrenzten Distanz. Sie wird oft mit der Punkt-Richtungsform beschrieben.

Punkt-Richtungsform

\[ \begin{align} g\hspace{-1mm}:& \hspace{2mm}X = \textcolor{red}{\vec{x}} + \textcolor{green}r\cdot \textcolor{gray}{\vec{v}} \hspace{1cm} r \in \mathbb{R} \\ &g \hspace{-1mm}: \text{Geraden Bezeichnung} \\ &\textcolor{red}{\vec{x}} \hspace{-1mm}: \text{Stützvektor} \\ &\textcolor{green}{r} \hspace{-1mm}: \text{Skalar} \\ &\textcolor{gray}{\vec{v}} \hspace{-1mm}: \text{Richtungsvektor} \end{align} \]

Der Stützvektor “stützt” den Vektor vom Ursprung ab. Der Richtungsvektor gibt die Richtung der Gerade an.

Berechnung

Für die Berechnung der Punkt-Richtungsform sind zwei Vektoren, welche von der Gerade durchschnitten werden notwendig.

📘 Info

Wir berechnen hier in 2 Dimensionen. Diese Verfahren ist Dimensionsunabhängig und kann somit auf Vektoren aller größen angewandt werden.

Wir definieren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\). Wir wählen \(\vec{A}\) als Stützvektor. Der Richtungsvektor ist \(\vec{AB}\).

\(\vec{AB}\) verbindet nun die beiden Vektoren (\(\vec{A}+ \vec{AB} = \vec{B}\)). Damit die ganze Gerade beschrieben wird. Dafür muss der Richtungsvektor einen Vorfaktor (\(r\)) bekommen, welcher jede reelle Zahle annehmen kann. (\(r \in \mathbb{R}\))

Zusammengesetzt ergibt sich: \(\vec{A}+ r \cdot \vec{AB} = X\)

Punkteprobe

Wir können für \(X\) einen beliebigen Punkt einsetzen, und wenn wir ein \(r\) finden, womit die Gleichung richtig ist, liegt der Punkt \(X\) auf der Gerade.